Transformação
de Lorentz
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Em física, as transformações de
Lorentz, em homenagem ao físico neerlandês Hendrik Lorentz, descrevem como, de acordo com a relatividade especial,
as medidas de espaço e tempo de dois observadores se alteram em cada sistema de
referência. Elas refletem o fato de que observadores se movendo com velocidades diferentes medem diferentes valores
de distância, tempo e, em alguns casos, a ordenação de eventos.
A transformação de Lorentz foi originalmente o resultado da tentativa de
Lorentz e outros cientistas, como Woldemar Voigt, para explicar as propriedades
observadas da luz propagando-se no que se presumia ser o éter luminífero; Albert Einstein
posteriormente reinterpreta a transformação como sendo uma consequência da
natureza do espaço e tempo. A transformação de Lorentz subtitui a transformação de
Galileu da física newtoniana, que assumia um espaço e tempo
absoluto. De acordo com a relatividade especial, a transformação de Galileu é apenas uma boa aproximação para velocidades
relativas muito menores que a velocidade da luz.
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Índice
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Transformação de Lorentz para
referenciais na configuração padrão
Assuma que há dois observadores O e Q, cada qual usando
seu próprio sistema de
coordenadas cartesiano para medir os intervalos de espaço e tempo. O
utiliza
e Q utiliza
. Suponha ainda que os sistemas de coordenadas são orientados de maneira
que os eixos x e x' são colineares, os eixos y é paralelo
ao eixo y' , assim como o eixo z ao z' . A velocidade
relativa entre os dois observadores é v no sentido do eixo x.
Assuma também que as origens de ambos sistemas de coordenadas são os mesmos. Se
todas essas suposições são válidas, então os sistemas de coordenadas são ditos
estarem na configuração padrão. Uma apresentação simétrica entre as
transformadas direta em inversa de Lorentz podem ser obtidas se o sistema de
coordenadas estão em configuração simétrica. A forma simétrica ressalta que
todas as leis físicas devem ser de tal tipo que permanecem inalteradas sob uma
transformação de Lorentz.
A transformação de Lorentz para sistemas de referências na configuração
padrão pode ser apresentada como
Forma matricial
A transformação de Lorentz é dita um "boost" na direção x
e é frequentemente expressa na forma matricial como
Para o caso geral de um boost em uma direção arbitrária
,
onde
e
.
Motivação original
Desde Galileu e Newton se sabia que medidas laboratoriais de processos mecânicos nunca podiam
mostrar diferenças entre um equipamento em repouso e um outro que estivesse em
movimento com velocidade constante em linha recta: era o chamado princípio da
relatividade. Mas nem todas as leis da física eram consideradas universais e
independentes do observador: de acordo com a teoria electromagnética de Maxwell
(refinada depois por Lorentz e outros) a luz não devia obedecer a este
princípio da relatividade e devia mostrar o efeito do movimento. Michelson e
Morley fizeram uma
experiência, em 1887, em que tentaram detectar a diferença entre a
velocidade da luz na direção do movimento da Terra
(afetado pelo vento de éter resultante) com a velocidade da luz numa direção em
ângulo recto com ela. Mas o valor da velocidade da luz não se parecia alterar
quando se alterava a velocidade do seu emissor — o que estava em desacordo com
os modelos da Física Clássica.
Em 1889, Fitzgerald, um irlandês, sugeriu que talvez fosse uma contração
do próprio equipamento experimental, quando atravessava o éter, que fazia com
que a mudança na velocidade da luz não fosse detectável, ou seja, sugeriu que
os corpos se contraíam quando se moviam à velocidades perto da velocidade da
luz. Independentemente, em 1895, Lorentz sugeriu uma hipótese do mesmo tipo,
porém mais detalhada, em que, para assegurar a completa impossibilidade de
detecção do éter, acrescentava a hipótese de haver uma mudança no «tempo local»
marcado pelos relógios usados na experiência. As transformações de Lorentz,
introduzidas por ele em 1904, descrevem esse efeito de diminuição do
comprimento e dilatação do tempo para objetos que se movem a velocidades perto
da velocidade da luz.
O descrédito das teorias do éter acabou por levar à aceitação da
proposta de Albert Einstein de
que as transformações de Lorentz não fossem entendidas como transformações de
objetos físicos mas sim como transformações do espaço e do tempo em si. Na sua
Teoria da Relatividade Restrita,
propôs que a razão pela qual não se conseguiam detectar diferentes velocidades
da luz era simplesmente porque a velocidade da luz é uma constante universal. E
mostrou que isso tornava o princípio da relatividade compatível com a teoria
electromagnética.
A necessidade de se modificar as equações da transformação de
Galileu foi reconhecida ao se tentar usá-las nas equações de Maxwell.
O raciocínio a seguir, atribuído a Einstein, ilustra intuitivamente a
inconsistência.
Considere que seja possível a uma pessoa viajar à velocidade da luz. A luz,
pelas equações de Maxwell,
é uma oscilação dos campos elétricos E e magnéticos B, periódica
no espaço e oscilante no tempo. No referencial desta pessoa, a luz seria uma
perturbação do campo eletromagnético periódica no espaço e constante no
tempo. Tal solução, no entanto, não existe como solução das equações de
Maxwell que governam a propagação da Luz.
Portanto resta uma alternativa:
- Modificar as equações Maxwell e manter a transformada de Galileu
- Ou modificar a transformada de Galileu
Não basta dizer que, já que as equações de Maxwell são confirmadas em
laboratório, devemos modificar as transformadas de Galileu. Estas transformadas
também são importantes pois são a base de toda a Mecânica Clássica, que
portanto deveria ser revista.
Este impasse foi resolvido em 1905 por Albert Einstein. A sua
interpretação das Transformadas de Lorentz permitiu manter as equações de
Maxwell inalteradas, mas exigiu uma revisão completa dos conceitos de tempo e
espaço tão caros e fundamentais à Mecânica Clássica.
A transformação de Lorentz
Para se chegar as equações da transformação de Lorentz basta analisar
como as equações de Maxwell se comportam com relação a uma transformação geral
de coordenadas. Mas para simplificar a matemática, utiliza-se no lugar das
equações de Maxwell uma de suas soluções, isto é, a equação da onda no vácuo:
propagando-se na direção x com velocidade c.
Quer-se uma transformação linear
de coordenadas x, t para um novo referencial, x', t' que se move com velocidade
v:
O problema é encontrar
de forma a que a equação de onda acima continue sendo uma equação de
onda no novo referencial. Substituindo na equação de onda e resolvendo a
equação para
obtém-se:
Substituindo na transformação linear original:
Comparando com a transformada de
Galileu:
encontra-se:
substituindo na transformação linear inicial, encontra-se a transformada
de Lorentz entre dois referenciais em movimento relativo com velocidade v:
Onde:
é chamado de fator de Lorentz.
Referências
- ↑
Ernst, A. och Hsu, J.-P.; First proposal of the universal speed of
light by Voigt 1887 Chinese Journal of
Physics (2001), pag 211-230 Vol 39-3; A tradução de Voigt (1887) em
Inglês.
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